The Rudolf Steiner Archive

Fünfter Vortrag

Wenn man einem Kinde etwas beibringen will, muß man schon etwas von dem eigentlichen Wesen der Sache verstehen, um nicht sich im Unterrichte und in der Erziehung in Dingen zu bewegen, die dem Leben fernliegen. Alles, was dem Leben naheliegt, kann man verstehen. Man könnte auch sagen: Was man in Wirklichkeit versteht, muß dem Leben naheliegen. Die Abstraktionen liegen dem Leben nicht nahe.

Nun ist es heute so, daß der Lehrende, der Erziehende, von gewissen Dingen von vornherein nur Abstraktionen hat, daß er mit gewissen Dingen dem Leben nicht nahesteht. Das macht für die Erziehung und den Unterricht die allergrößten Schwierigkeiten. Bedenken Sie nur das Folgende: Sie wollen einmal darüber nachdenken, wie Sie dazu gekommen sind, Dinge zu zählen; was eigentlich damit getan ist, daß Sie zählen. Sie werden wahrscheinlich finden, daß der Faden Ihrer Untersuchungen irgendwo abreißt, daß Sie wohl Zählen gelernt haben, aber nicht recht eigentlich wissen, was Sie tun mit dem Zählen.

Nun werden allerlei Theorien für die Pädagogik ersonnen, wie man den Begriff der Zahl, wie man das Zählen einem Kinde beibringen soll, und gewöhnlich richtet man sich dann auch nach solchen Theorien. Wenn man damit auch äußerlich Erfolge erzielen kann, an den ganzen Menschen kommt man mit diesem Zählen oder mit solchen Dingen, die dem Leben fernliegen, nicht heran. Die neuere Zeit hat ja gerade dadurch bewiesen, wie sie in Abstraktionen lebt, daß sie solche Dinge wie die Rechenmaschine für den Unterricht erfunden hat. Im kaufmännischen Büro mögen die Leute Rechenmaschinen benützen, wie sie wollen, das geht uns jetzt nichts an, aber im Unterricht verhindert die Rechenmaschine, die sich ausschließlich an den Kopf wendet, von vorneherein, daß man in einer wesensgemäßen Weise mit der Zahl an das Kind herankommt.

Es handelt sich darum, daß man das Zählen wirklich aus dem Leben heraus gewinnt. Dabei wird vor allen Dingen wichtig sein, daß man von vornherein weiß, es kann sich gar nicht darum handeln, daß das Kind restlos alles versteht, was man ihm beibringt. Das Kind muß vieles auf Autorität aufnehmen, aber es muß es naturgemäß, sachgemäß aufnehmen.

Daher können Sie finden, daß das, was ich Ihnen nun über das Beibringen des Zählens sagen werde, vielleicht noch schwierig ist für das Kind. Aber das schadet nichts. Es ist außerordentlich bedeutsam, daß im Leben des Menschen solche Momente eintreten, wo man sich im 30., 40. Jahre sagt: Jetzt verstehe ich etwas, was ich damals im 8. oder 9. Jahre oder sogar noch früher in mich auf Autorität hin aufgenommen habe. - Das belebt. Wer dagegen all die Dinge betrachtet, die man heute als Anschauungsunterricht in den Unterricht einführen will, der kann tatsächlich ins Verzweifeln geraten, wie trivial die Dinge gemacht werden, um sie, wie man sagt, dem Verständnis des Kindes näherzubringen.

Denken Sie einmal, Sie nehmen selbst das kleinste Kind, das sich noch recht ungeschickt dabei benimmt, und Sie sagen ihm: Sieh einmal, du stehst jetzt da. Hier nehme ich ein Stück Holz. Da habe ich ein Messer. Ich zerschneide nun dieses Stück Holz. Kann ich das auch mit dir machen? - Da wird das Kind doch selber darauf kommen, daß ich das mit ihm nicht machen kann. Und nun kann ich dem Kinde sagen: Sieh einmal, wenn ich das Holz zerschneiden kann, dann ist das Holz also nicht so wie du, und du nicht so wie das Holz, denn dich kann ich nicht zerschneiden. Es ist also ein Unterschied zwischen dir und dem Holz. Der Unterschied besteht darinnen, daß du eine Einheit bist. Das Holz ist keine Einheit. Du bist eine Einheit. Dich kann ich nicht zerschneiden. Dasjenige, was du bist, deshalb, weil ich dich nicht zerschneiden kann, das nenne ich eine Einheit.

Nun, man wird jetzt allmählich dazu übergehen, dem Kinde ein Zeichen für diese Einheit beizubringen. Man macht einen Strich: I. Man bringt also dem Kinde bei, daß es eine Einheit ist, und man macht dafür diesen Strich.

Nun kann man abgehen von dem Holz und dem Vergleiche mit dem Kinde, und kann jetzt zu dem Kind sagen: Sieh einmal, da hast du deine rechte Hand, da hast du auch deine linke Hand. Und man wird dem Kinde beibringen können: Wenn du nur diese eine Hand hättest, dann könnte sich diese eine Hand überall hin bewegen, wie du selber. Aber wenn du so weitergehst, dann kannst du dir nicht begegnen, du kannst dich nicht angreifen. Wenn sich aber diese Hand und diese Hand bewegen, dann können sie sich angreifen, dann können sie zusammenkommen. Das ist etwas anderes, als wenn du bloß allein gehst. Weil du allein gehst, bist du eine Einheit. Aber die eine Hand kann der anderen Hand begegnen. Das ist nicht mehr eine Einheit, das ist eine Zweiheit. Siehst du, du bist einer, aber du hast zwei Hände. Das bezeichnest du dann so: II.

Auf diese Weise bringen Sie den Begriff der Einheit und der Zweiheit aus dem Kinde selbst heraus zustande.

Nun gehen Sie weiter, rufen ein zweites Kind heraus und sagen: Wenn ihr aber geht, könnt ihr euch auch begegnen, könnt ihr euch auch berühren. Ihr seid eine Zweiheit. Es kann aber noch einer dazukommen. Das kann bei den Händen nicht der Fall sein. So kann man übergehen beim Kinde zur Dreiheit: III.

Auf diese Weise kann man aus dem, was der Mensch selber ist, die Zahl ableiten: Man kommt vom Menschen zu der Zahl. Der Mensch ist etwas Lebendiges, nichts Abstraktes.

Und man kann übergehen und sagen: Sieh einmal, du hast noch irgendwo eine Zweiheit. - Man treibt das so lange, bis das Kind zu seinen beiden Beinen und Füßen kommt. Jetzt sagt man: Aber du hast schon des Nachbars Hund gesehen, ist der auch nur auf zwei Füßen? - Dann wird das Kind dazu kommen, in den vier Strichen IIII das sich Aufstützen von des Nachbars Hund kennenzulernen, und es wird so aus dem Leben heraus allmählich die Zahl aufbauen lernen.

Da ist es nun gut, wenn der Lehrer wieder überall offene Augen hat und alles mit Verständnis anschaut. So könnte ganz gut, weil man zuerst, wie es Ja auch natürlich ist, diese sogenannten römischen Zahlen anfängt zu schreiben - denn das ist dasjenige, was das Kind selbstverständlich gleich auffaßt - nun der Übergang gefunden werden von der Vier mit Hilfe der Hand zu der Fünf: V. Da wird man dem Kinde sagen: Das ist so, wenn du das (den Daumen) zurückhältst, so kannst du diese vier so benützen wie der Hund: IIII. Dann aber kommt noch der Daumen dazu, jetzt sind es fünf: V.

Ich stand einmal einem Lehrer gegenüber, der in der Erklärung der römischen Zahlen bis zu vier gekommen war, aber nicht darauf kommen konnte, warum es den Römern eingefallen ist, nun nicht fünf Striche nebeneinander zu machen, sondern dieses Zeichen V zu machen für die Fünf. Bis zu IIII konnte er es ganz gut bringen. Da sagte ich: Nun, machen wir es einmal so, legen wir die fünf Finger so auseinander, daß sie zwei Reihen bilden, und dann haben wir es: Da haben wir in der römischen Fünf die Hand drinnen. Das ist auch die Entstehung der römischen Fünf. Die Hand ist da drinnen.

In einem so kurzen Kurs kann man natürlich nur das Prinzip erklären. Aber auf diese Weise bekommt man die Möglichkeit, die Zahl selber unmittelbar aus dem Leben abzulesen. Und dann erst, wenn man in dieser Weise unmittelbar aus dem Leben die Zahl herausgewirkt hat, versucht man, das Zählen durch Anführen der Zahlen nacheinander durchzunehmen. Aber man versuche dieses so durchzunehmen, daß es den Kindern nicht gleichgültig bleibt. Ehe man ihm sagt: Jetzt sage mir einmal die Zahlen hintereinander auf: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und so weiter, - gehe man zunächst vom Rhythmus aus. Sagen wir, wir gehen von 1 zu 2 = 1 2, 1 2, 1 2; wir lassen das Kind stärker auftreten bei dem 2, gehen zu 3 auch so ins Rhythmische hinüber = 1 2 3, 1 2 3. Auf diese Weise legen wir den Rhythmus in die Zahlenreihe hinein und bilden so auch die Fähigkeit beim Kiinde, die Dinge zusammenzufassen. Wir gelangen so wirklich in einer naturgemäßen Weise dazu, dem Kinde aus dem Wesen der Zahl heraus die Zahlen beizubringen.

Der Mensch glaubt gewöhnlich, er habe die Zahlen ausgedacht, indem er immer eins zum andern hinzugefügt hat. Das ist aber gar nicht wahr, der Kopf zählt überhaupt nicht. Man glaubt im gewöhnlichen Leben gar nicht, welch ein merkwürdiges, unnützes Organ für das Erdenleben dieser menschliche Kopf eigentlich ist. Er ist zur Schönheit da, gewiß, weil das Antlitz den anderen gefällt. Er hat noch mancherlei andere Tugenden, aber zu den geistigen Tätigkeiten ist er eigentlich gar nicht so stark da, denn dasjenige, was er geistig in sich hat, führt immer zurück in das frühere Erdenleben; er ist das umgestaltete frühere Erdenleben. Und einen richtigen Sinn hat es eigentlich nur dann für den Menschen, einen Kopf zu haben, wenn er etwas weiß von seinen früheren Erdenleben. Alles andere kommt gar nicht aus dem Kopf. Wir zählen nämlich in Wirklichkeit im Unterbewußten nach den Fingern. In Wirklichkeit zählen wir 1-10 an den Fingern und 11, 12, 13, 14 an den Zehen weiter. Das sieht man zwar nicht, aber man macht das so bis 20. Und dasjenige, was man im Körper auf diese Weise tut, das spiegelt sich im Kopfe nur ab. Der Kopf schaut nur bei allem zu. Der Kopf im Menschen ist wirklich nur ein Spiegelungsapparat von dem, was der Körper macht. Der Körper denkt, zählt; der Kopf ist nur ein Zuschauer.

Dieser Kopf hat eine merkwürdige Ähnlichkeit mit etwas anderem. Wenn Sie hier ein Auto haben (es wird gezeichnet) und Sie sitzen bequem darinnen, so tun Sie gar nichts, der Chauffeur da vorne muß sich plagen. Sie sitzen drinnen und werden durch die Welt gefahren. So ist es auch mit dem Kopf; der plagt sich nicht, der ist einfach auf Ihrem Körper, läßt sich ruhig durch die Welt tragen und schaut allem zu. Dasjenige, was getan wird im geistigen Leben, das wird alles vom Körper aus gemacht. Mathematisiert wird vom Körper aus, gedacht wird auch vom Körper aus, gefühlt wird auch vom Körper aus. - Die Rechenmaschine entspringt eben dem Irrtum, als ob der Mensch mit dem Kopf rechnete. Man bringt dann dem Kinde mit der Rechenmaschine die Rechnungen bei, das heißt, man strengt seinen Kopf an, und der Kopf strengt dann damit den Körper an, denn rechnen muß doch der Körper. Man berücksichtigt nicht, daß der Körper rechnen muß. Das ist wichtig. Deshalb ist es richtig, daß man das Kind mit den Fingern und auch mit den Zehen zählen läßt, wie es überhaupt ganz gut wäre, wenn man möglichste Geschicklichkeit bei den Kindern herausfordern würde. Es ist zum Beispiel nichts besser im Leben, als wenn man den Menschen im ganzen geschickt macht! Das kann man nicht durch Sport; der macht nicht eigentlich geschickt. Aber geschickt macht es zum Beispiel, wenn man den Menschen einen Griffel zwischen der großen und der nächsten Zehe halten läßt und ihn schreiben lernen läßt mit dem Fuß, Ziffern schreiben läßt mit dem Fuß. Das ist etwas, was durchaus Bedeutung haben kann, weil in Wahrheit der Mensch mit seinem ganzen Körper seelendurchdrungen, geistdurchdrungen ist. Der Kopf ist der sich anlehnende und nichtstuende Fahrende, währenddem der Körper überall der Chauffeur ist; der muß alles tun.

Und so muß man von den verschiedensten Seiten her versuchen, dasjenige, was das Kind als Zählen lernen soll, aufzubauen. So ist es wichtig, daß man, wenn man eine Zeitlang so gearbeitet hat, auch dazu kommt, das Zählen nicht bloß durch Zulegen von einem zum anderen - das ist sogar das allerwenigst wichtigste Zählen - hervorruft, sondern man bringt dem Kinde bei: Das ist die Einheit. Jetzt teilt man das ab (siehe Zeichnung): Das ist die Zweiheit. Es ist da nicht eine Ein! heit neben die andere gelegt zur Zweiheit, sondern da ist die Zweiheit aus der Einheit hervorgegangen. Das ist die Einheit (siehe oben), das ist nun die Dreiheit. Auf diese Weise kann man die Vorstellung hervorrufen, daß die Einheit eigentlich das Umfassende ist, dasjenige, was die Zweiheit, die Dreiheit, die Vierheit zusammenfaßt. Wenn man auf diese Weise zählen lernt (siehe Schema) 1, 2, 3, 4, und so weiter, werden die Begriffe des Kindes lebendig. Dadurch entsteht in dem Kinde ein innerliches Durchdringen des Zahlenmäßigen.

In gewissen Zeiten des Altertums hat man überhaupt unsere Begriffe des Zählens, wo immer nur eine Bohne neben die andere gelegt oder eine Kugel an der Rechenmaschine neben die andere gesetzt wird, gar nicht so gekannt, sondern man hat eben gesagt: Die Einheit ist das größte; jedes zwei ist nur die Hälfte davon und so weiter. Auf diese Weise kommen Sie in das Wesen des Zählens hinein, anschaulich, am Außending. Man soll das Denken des Kindes immer nur am Außending, am Anschaulichen entwickeln, die Abstraktion möglichst fernhalten.

Das Kind bekommt dann nach und nach die Möglichkeit, die Zahlenreihe zu haben bis zu einem gewissen Grade, meinetwillen zuerst bis 20, dann 100 und so weiter. Aber man gehe auf diese Weise vor, um dem Kinde das Zählen lebendig beizubringen. Ein Kind kann dann zählen. Wirklich zählen soll das Kind zuerst lernen - ich sage das ausdrücklich -, nicht gleich rechnen, sondern zählen. Das Kind soll zählen können, bevor man ans Rechnen geht.

Wenn man nun dem Kinde das Zählen nahegebracht hat, so wird es sich darum handeln, ans Rechnen heranzudringen. Auch das Rechnen muß aus dem Lebendigen herausgeholt werden. Das Lebendige ist immer ein Ganzes und als Ganzes zuerst gegeben. Man verübt Schlechtes an dem Menschen, wenn man ihn dazu veranlaßt, immer aus den Teilen ein Ganzes zusammenzusetzen, wenn man ihn nicht dazu erzieht, auf ein Ganzes hinzuschauen und dieses Ganze dann in Teile zu gliedern. Dadurch, daß man das Kind veranlaßt, auf ein Ganzes hinzuschauen, es zu gliedern und zu teilen, dadurch führt man das Kind an das Lebendige heran.

Man bemerkt ja vieles nicht, was die materialistische Zeit eigentlich mit Bezug auf die Menschheitskultur getrieben hat. Heute wird man gar keinen besonderen Anstoß daran nehmen, sondern es als etwas Selbstverständliches betrachten, Kinder mit dem Baukasten spielen zu lassen, einzelne Steinchen zu haben und aus denen so ein Gebäude zusammenzusetzen. Das ist von vornherein ein Wegführen des Kindes vom Lebendigen. Das Kind hat aus seiner Wesenheit heraus gar nicht das Bedürfnis, aus Teilen ein Ganzes zusammenzusetzen. Das Kind hat viele andere, allerdings unbequemere Bedürfnisse. Das Kind hat, wenn es nur einmal darauf kommt, gleich das Bedürfnis, wenn man ihm eine Uhr gibt, sie gleich zu zerteilen, das Ganze in die Teile zu zerlegen, und das entspricht viel mehr der Wesenheit des Menschen, nachzusehen, wie sich ein Ganzes in die Teile gliedert.

Das ist dasjenige, was nun auch beim Rechenunterricht berücksichtigt werden muß. Daß das auf die ganze Kultur einen Einfluß hat, mögen Sie aus folgendem Beispiel ersehen.

So bis ins 13., 14. Jahrhundert herein legte man gar keinen so großen Wert darauf, im menschlichen Denken ein Ganzes aus seinen Teilen zusammenzusetzen. Das kam erst später auf. Der Baumeister baute viel mehr aus der Idee des Ganzen heraus und gliederte in die Teile, als daß er aus Teilen ein Gebäude zusammengesetzt hätte. Das Zusammensetzen aus Teilen kam eigentlich erst später in die Menschheitszivilisation hinein. Und das hat dann dazu geführt, daß die Menschen überhaupt angefangen haben, alles aus kleinsten Teilen sich zusammengesetzt zu denken. Daraus kam die atomistische Theorie in der Physik. Die kommt nur aus der Erziehung. Unsere hohen Gelehrten würden gar nicht so sprechen von diesen winzigen kleinen Karikaturen von Dämonen - denn es sind Karikaturen von Dämonen -, von den Atomen, wenn man sich nicht in der Erziehung daran gewöhnt hätte, aus Teilen alles zusammenzusetzen. So ist der Atomismus gekommen. Wir kritisieren heute den Atomismus; aber eigentlich sind die Kritiken ziemlich überflüssig, weil die Menschen nicht loskommen von dem, was sie sich seit vier bis fünf Jahrhunderten angewöhnt haben verkehrt zu denken: Statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken.

Das ist etwas, was man sich besonders beim Rechenunterricht sagen sollte. Wenn Sie von ferne auf einen Wald zugehen, haben Sie doch zuerst den Wald, und dann erst, wenn Sie nahe kommen, gliedern Sie den Wald in die einzelnen Bäume. So müssen Sie auch beim Rechnen vorgehen. Sie haben ja niemals in Ihrer Börse, sagen wir, 1, 2, 3, 4, 5, sondern Sie haben einen Haufen Geldstücke. Sie haben die 5 zusammen. Das ist ein Ganzes. Das haben Sie zuerst. Sie haben auch gar nicht, wenn Sie sich eine Erbsensuppe kochen, 1, 2, 3, 4, 5 bis 30, 40 Erbsen, sondern Sie haben einen Haufen. Sie haben auch nicht, wenn Sie ein Körbchen Äpfel haben, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und so weiter Äpfel, sondern einen Haufen Äpfel in Ihrem Körbchen. Sie haben ein Ganzes. Was geht es uns zunächst an, wieviel wir haben, wir haben einen Haufen Äpfel (es wird gezeichnet). Jetzt kommen wir mit diesem Haufen Äpfel nach Hause. Drei Kinder sind da. Wir wollen zunächst gar nicht darauf ausgehen, die Teilung gleich so vorzunehmen, daß jedes das gleiche bekommt. Vielleicht ist das eine Kind klein, das andere groß. Wir greifen hinein, geben dem größeren Kind einen größeren Haufen, dem kleineren Kind einen kleineren Haufen; wir gliedern den Haufen Äpfel, den wir haben, in drei Teile.

Beim Teilen ist es ohnehin so eine merkwürdige Geschichte! Da hatte einmal eine Mutter ein großes Stück Brot und sagte zu dem einen Kind, das Heinrich hieß: Du mußt jetzt teilen, aber christlich teilen. - Da fragte der Heinrich: Was heißt denn das, christlich teilen? - Nun ja, sagte die Mutter, du mußt das Brot in ein kleineres und ein größeres Stück schneiden, das größere gibst du deiner Schwester Anna, du behältst das kleinere. - Darauf sagte Heinrich: Nein, dann soll nur die Anna christlich teilen!

Da muß man noch andere Begriffe zu Hilfe nehmen. Wir machen das so, daß wir zum Beispiel dem einen Kind das geben (siehe Abgrenzung bei der Zeichnung), dem zweiten Kind diesen Haufen und dem dritten Kind diesen Haufen. Damit wir es ordentlich überschauen können, zählen wir zunächst den ganzen Haufen, denn zählen kann das Kind schon. Es sind 18 Äpfel. Jetzt habe ich es zu zählen. Wieviel hat das erste Kind? 5. Wieviel hat das zweite Kind? 5. Wieviel hat das dritte Kind? 8.

Somit bin ich vom Ganzen ausgegangen, vom ganzen Haufen Äpfel, und habe ihn in drei Teile aufgeteilt.

Sehr häufig macht man es im Unterricht so, daß man sagt: Du hast 5 und noch einmal 5 und 8; die zählst du zusammen, dann gibt das 18. Da gehen Sie vom Einzelnen aus und kommen zum Ganzen. Aber das gibt dem Kind tote Begriffe, keine lebendigen Begriffe. Gehen Sie vom Ganzen aus, von den 18, und teilen Sie es auf in die Summanden, so bekommen Sie die Addition.

Unterrichten Sie also nicht so, daß Sie ausgehen von dem einzelnen Addenden oder Summanden, sondern gehen Sie von der Summe aus - die ist das Ganze - und gliedern Sie sie in die einzelnen Addenden. Dann können Sie dazu kommen, nun zu sagen: Aber ich kann jetzt auch anders aufteilen. Ich kann so teilen ... ich habe nun andere Addenden, das Ganze bleibt immer gleich. Dadurch, daß Sie die Addition nicht so nehmen, wie man sie sehr häufig nimmt, indem man zuerst die Addenden hat und dann die Summe, sondern zuerst die Summe gibt und dann die Addenden, kommen Sie zu ganz lebendigen, beweglichen Begriffen. Sie kommen auch darauf, daß da, wo es nur auf die Zahl ankommt, das Ganze eben etwas Gleichbleibendes ist; die einzelnen Summanden, Addenden, können sich ändern. Dieses Eigentümliche der Zahl, daß man sich die Addenden in verschiedener Art gruppiert denken kann, das kommt dabei sehr schön heraus.

Dann können Sie übergehen und sagen: Wenn aber etwas nicht nur Zahl ist, sondern die Zahl in sich hat, wie der Mensch, dann kann man nicht in verschiedener Weise teilen. So zum Beispiel wenn Sie den menschlichen Rumpf nehmen und dasjenige, was daran hängt, Kopf, Arme und Füße, da können Sie nicht in beliebiger Weise das Ganze aufteilen, da können Sie nicht sagen: Ich schneide den einen Fuß so heraus, die Hand so heraus und so weiter, sondern das ist in bestimmter Weise schon von der Natur aus gegliedert.

Wo es bloß auf das Zählen ankommt, da ist nicht von der Natur aus gegliedert, da kann ich in verschiedener Weise aufteilen.

Das ist dasjenige, wodurch Sie überhaupt die Möglichkeit bekommen, Leben und lebendiges Fließen in den Unterricht hineinzubringen. Alle Pedanterie fällt heraus aus dem Unterricht, und Sie werden sehen, es kommt etwas in den Unterricht hinein, was das Kind außerordentlich gut braucht: Es kommt in gesundem Sinne, nicht in kindischem Sinne, Humor in den Unterricht hinein. Und Humor muß in den Unterricht hineinkommen.

Übersetzen Sie das Wort «Humor» gut; das wird immer im Unterricht mißverstanden!

So müssen Sie überhaupt im Unterricht vorgehen: Überall von dem Ganzen ausgehen. Nehmen Sie einmal an, Sie wollen, ganz aus dem Leben heraus, folgendes machen. Die Mutter hat das Mariechen geschickt, Äpfel zu holen. Das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen. Das hat die Kaufmannsfrau auf einen Zettel aufgeschrieben. Das Mariechen kommt nach Hause und bringt nur 10 Äpfel. Die Tatsache liegt vor, die ist aus dem Leben: Das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen und hat nur 10 nach Hause gebracht. Das Mariechen ist ein ehrliches Mariechen, hat wirklich keinen einzigen Apfel auf dem Wege aufgegessen, hat aber doch nur 10 Äpfel nach Hause gebracht. Jetzt kommt jemand nachgelaufen, der auch ehrlich ist, und bringt alle die Äpfel nach, die das Mariechen auf dem Weg verloren hat. Jetzt wird die Frage entstehen: Wieviel bringt der nach? Man sieht ihn erst von ferne kommen. Jetzt will man vorher wissen, wieviele er nachbringt. Nun, das Mariechen ist angekommen, 10 Äpfel hat es gebracht, 25 hatte es bekommen, das sieht man auf dem Zettel, auf dem die Frau es aufgeschrieben hat. Es hat also 15 Äpfel verloren.

Sehen Sie, jetzt haben Sie die Rechnung gemacht. Gewöhnlich macht man es so: Etwas ist gegeben, man soll etwas abziehen, und dann bleibt etwas übrig. Aber im Leben - Sie werden sich davon überzeugen - kommt es viel häufiger vor, daß man dasjenige, was man ursprünglich bekommen hat, und dasjenige, was übriggeblieben ist, weiß, und man muß dasjenige, was verlorengegangen ist, aufsuchen. Man soll also die Subtraktion, damit man die Sache lebendig treibt, so machen, daß man vom Minuend und vom Rest ausgeht, und den Subtrahend sucht; nicht vom Minuend und Subtrahend ausgehen und den Rest suchen. Das ist tot. Lebendig ist es, vom Minuend und vom Rest auszugehen und den Subtrahenden zu suchen. Dadurch bekommen Sie Leben in den Unterricht hinein.

Sie werden das schon sehen, wenn Sie die Sache von der Mutter und dem Mariechen ins Auge fassen und den, der den Subtrahenden bringt. Das Mariechen hat vom Minuend den Subtrahend verloren, und das will man so rechtfertigen, daß man von dem, der da nachkommt, den man herankommen sieht, wissen will, wieviel er bringen muß. Da kommt in die ganze Subtraktion Leben, wirkliches Leben hinein. Wenn man nur danach fragt: Wieviel bleibt übrig - bringt das nur Totes in die Seele des Kindes hinein. Sie müssen immer darauf bedacht sein, überall das Lebendige, nicht das Tote in das Kind hineinzubringen.

Und so können Sie dann weitergehen. Sie können die Multiplikation so treiben, daß Sie sagen: Das Ganze, das Produkt ist vorhanden; wie kann man finden, wievielmal irgend etwas in diesem Produkt drinnensteckt? Sehen Sie, da kommen Sie auf Lebendiges. Denken Sie einmal, wie tot es ist, wenn Sie sagen: Ich teile mir diese ganze Gruppe von Menschen ab, da sind drei, da sind noch einmal drei und so weiter, und ich frage jetzt: wievielmal drei sind da? - Das ist tot, da ist kein Leben drinnen.

Wenn ich umgekehrt vorgehe und das Ganze nehme und frage, wie oft irgendeine Gruppe drinnen stecke, dann kann ich Leben hineinbringen. Ich kann zum Beispiel zu den Kindern so sagen: Seht, ihr seid hier in der Klasse eine gewisse Zahl. Zählen wir es ab. Ihr seid 45. Jetzt suche ich mir 5 heraus, 1, 2, 3, 4, 5, die stelle ich da her. Nun lasse ich abzählen, wievielmal sind diese 5 da drinnen in diesen 45? Sehen Sie, da gehe ich wieder aufs Ganze, nicht in den Teil. Wieviel solcher Fünfer-Gruppen kann ich noch machen? Da komme ich darauf, es sind noch acht Fünfer-Gruppen da drinnen. Also ich mache die Sache umgekehrt, gehe vom Ganzen aus, vom Produkt, und suche, wie oft ein Faktor da drinnen steckt. Dadurch belebe ich mir die Rechnungsarten und gehe vor allen Dingen vom Anschaulichen aus. Und darauf kommt es an, daß wir das Denken nie, nie, nie loslösen von dem Anschaulichen, sonst kommt an das Kind früh der Intellektualismus, die Abstraktion heran, und wir verderben das ganze Kind. Wir machen es trocken, und außerdem züchten wir in ihm - wir werden noch sprechen von der geistig-seelisch-physischen Erziehung -, wir züchten in ihm die Austrocknung auch des physischen Leibes, die Sklerose.

Wiederum hängt viel davon ab, daß wir so rechnen lehren, wie es hier beobachtet worden ist, damit der Mensch im Alter noch beweglich bleibt, noch geschickt ist. Wenn Sie am menschlichen Körper, so wie ich es beschrieben habe, zählen lehren, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 und dann weiter mit den Zehen - ja es wäre schon ganz gut, wenn man die Kinder gewöhnen würde, bis 20 wirklich mit Fingern und Zehen zu zählen, nicht mit der Rechenmaschine -, wenn Sie das die Kinder lehren, dann werden Sie sehen, durch dieses kindliche Meditieren - denn wenn man an den Fingern zählt, wenn man mit den Zehen zählt, so muß man auch an die Finger und Zehen denken, das ist ein Meditieren über den eigenen Körper, und zwar ein gesundes Meditieren -, da bringt man Leben hinein in den Körper. Man ist dann im Alter mit den Gliedern noch geschickt; sie behaupten sich, weil sie am ganzen Organismus das Zählen gelernt haben. Wenn man nur mit dem Kopfe denkt, nicht mit den Gliedern und dem übrigen Organismus denkt, dann können sie sich später auch nicht behaupten, und man kriegt die Gicht.

Wie man aus dem Anschaulichen heraus, nicht aus dem, was man heute oftmals «Anschauungsunterricht» nennt, alles in Erziehung und Unterricht besorgen muß, das möchte ich Ihnen nun an einem bestimmten Fall zeigen, der ja tatsächlich im Unterricht eine ganz besondere Rolle spielen kann. Es ist der Fall des pythagoreischen Lehrsatzes, den Sie ja wohl alle kennen, wenn Sie unterrichten werden, den Sie vielleicht schon in einer ähnlichen Weise durchschaut haben, aber wir wollen ihn heute doch noch besprechen. Sehen Sie, der pythagoreische Lehrsatz bedeutet etwas, was man sich tatsächlich im Unterrichte so als ein Ziel hinstellen kann für die Geometrie. Man kann schon die Geometrie so aufbauen, daß man sagt: Man will alles so gestalten, daß sie gipfelt in dem pythagoreischen Lehrsatz, daß das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Es ist etwas ganz Grandioses, wenn man das so recht ins Auge faßt.

Ich habe einmal einer Dame, die dazumal schon älter war, weil sie das so liebte, Geometrie beibringen sollen. Ich weiß nicht, ob sie alles vergessen hatte - aber vermutlich hatte sie nicht viel gelernt gehabt in den Mädchenerziehungsinstituten, in denen man so als Mädchen erzogen wird -, jedenfalls wußte sie nichts von Geometrie. Ich fing nun an und gipfelte das Ganze bis zum pythagoreischen Lehrsatz hin. Nun hatte der pythagoreische Lehrsatz für die Dame in der Tat etwas außerordentlich Frappierendes. Man ist nur gewöhnt an dieses Frappierende. Aber nicht wahr, man soll einfach das verstehen, daß, wenn ich hier ein rechtwinkliges Dreieck habe (es wird gezeichnet), die Fläche, die als Quadrat über der Hypotenuse errichtet wird, gleich ist der Summe dieser beiden Quadratflächen über den Katheten (Fig. I). Daß, wenn ich also Kartoffeln pflanze, und sie überall in den gleichen Entfernungen anordne, ich, wenn ich dieses Feld und dieses zusammen mit Kartoffeln bepflanze, genau soviel Kartoffeln anpflanzen werde, wie hier auf diesem Felde. Das ist etwas Frappierendes, etwas ganz Frappierendes, und wenn man es so ansieht, kann man es nicht eigentlich durchschauen.

Und gerade das, daß man es nicht durchschauen kann, daß es etwas so Wunderbares ist, sollte man zum inneren Beleben des Seelischen im Unterricht benutzen; man sollte darauf bauen, daß man da etwas nicht so furchtbar Durchsichtiges hat, das man doch immer wieder zugeben muß. Man möchte sagen, beim pythagoreischen Lehrsatz ist es so: Man kann an ihn glauben, aber man muß den Glauben immer gleich wieder verlieren. Man muß immer von neuem wieder daran glauben, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate.

Nun kann man ja allerlei Beweise finden, und der Beweis sollte eigentlich ganz anschaulich geliefert werden. Er ist leicht zu liefern, solange das Dreieck gleichschenklig ist. Wenn Sie hier ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck haben (es wird gezeichnet, Fig. II), so ist dieses hier die eine Kathete, dies ist die andere Kathete, das ist die Hypotenuse. Das, was ich jetzt orange zeichne (1, 2, 3, 4), ist das Quadrat über der Hypotenuse. Das, was ich blau zeichne, sind die Quadrate über den beiden Katheten (2, 5; 4, 6).

Nun ist es wiederum so, wenn ich in der richtigen Weise hier über diesen beiden blauen Feldern (2, 5; 4, 6) Kartoffeln anpflanze, bekomme ich gleich viel, wie wenn ich in dem orangen Feld (1, 2, 3, 4) Kartoffeln anpflanze. Das orange Feld ist das Quadrat über der Hypotenuse, die beiden blauen Felder (2, 5; 4, 6) sind die Quadrate über den beiden Katheten.

Nun können Sie ja den Beweis einfach machen, indem Sie sagen: Die zwei Stücke (2, 4) von den beiden blauen Quadraten, die fallen da (ins Hypotenusenquadrat) herein, die sind schon drinnen. Das da (5) können Sie hier heraufsetzen (auf 3). Wenn Sie sich das Ganze ausschneiden, können Sie das Stück (6) hier darauflegen (auf 1), und Sie haben es gleich. Also, da ist die Sache ganz durchsichtig, wenn man ein sogenanntes rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck hat. Aber hat man nicht ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, sondern eines von verschiedenen Seiten (wie Fig. ID), da kann man das Folgende machen: Zeichnen Sie sich dieses Dreieck noch einmal heraus (Fig. II: ABC). Zeichnen Sie jetzt das Quadrat über der Hypotenuse ABDE. Nun können Sie in folgender Weise zeichnen: Sie können das Dreieck ABC, das Sie hier haben, hier daran zeichnen: BDF. Dann können Sie dieses Dreieck ABC, respektive dieses BDF, was dasselbe ist, noch einmal hierher zeichnen: AEG. Dadurch, daß Sie dieses Dreieck hier noch einmal haben, können Sie sich das Quadrat über dieser einen Kathete so herzeichnen (rot) CAGH. Jetzt ist das, was ich rot gezeichnet habe, das Quadrat über der einen Kathete (CAGH).

Ich kann nun auch, wie Sie sehen, das Dreieck hierher zeichnen: DEI. Hier habe ich es auch. Dann habe ich in dem, was ich hier jetzt grün zeichne, das Quadrat über der anderen Kathete: DIHF; dann habe ich da zwei, das Quadrat über der einen Kathete, das Quadrat über der anderen Kathete. Ich benutze nur bei dem einen diese Kathete AG, bei dem anderen diese Kathete DI. Die Dreiecke sind da (AEG) und da (DEI); aber gleich (das heißt kongruent). Wo habe ich das Quadrat über der Hypotenuse? Das will ich nun violett hineinzeichnen, damit wir es gut unterscheiden können: ABDE. Das Quadrat über der Hypotenuse habe ich hier. Jetzt soll ich an der Figur selber zeigen, daß rot (1, 2) und grün (3, 4, 5) zusammen violett (2, 4, 6, 7) gibt.

Nun werden Sie ja leicht einsehen können: Ich nehme dieses rote Quadrat (1, 2) hier zuerst; dasjenige, was die beiden Quadrate gemeinschaftlich haben (2), das fällt ja übereinander. Nun kommt da noch das Stück vom grünen Quadrat (4) herein. So habe ich also diese Figur (2, 4), die Sie da gezeichnet sehen und die nichts anderes ist als ein Stück von dem violetten Quadrat ABDE, richtig ein Stück von dem violetten Quadrat. Dieses Stück von dem violetten Quadrat ABDE enthält dieses Stück von dem roten Quadrat (2); bleibt davon nur noch der Zipfel hier übrig (1); den enthält es noch nicht. Aber außerdem enthält diese Figur diesen Zipfel von dem grünen Quadrat (4). Jetzt muß ich nur noch darauf kommen, das unterzubringen, was mir da übriggeblieben ist (1, 3, 5).

Nun müssen Sie einmal sehen: Da ist Ihnen ein Stückchen vom roten Quadrat übriggeblieben (1), da ein Stückchen vom grünen Quadrat (3), und da ist Ihnen dieses ganze Dreieck (5) übriggeblieben, das auch zum grünen Quadrat DIHF gehört. Jetzt nehmen Sie das, was Sie hier haben, was Ihnen da noch übriggeblieben ist, und setzen es da an; dasjenige, was Ihnen hier noch übriggeblieben ist (5), nehmen Sie und setzen es da an (6). Jetzt haben Sie auch noch die Zipfel da (1, 3). Wenn Sie das ausschneiden, kommen Sie richtig darauf, daß diese beiden Flächen (1, 3) in diese Fläche (7) hineingefallen sind. Es kann natürlich noch deutlicher gezeichnet werden, aber ich denke, Sie werden die Sache durchschauen. Es handelt sich jetzt nur noch darum, daß es sich durch die Sprache noch näher mitteilt. Auf diese Weise haben Sie einfach durch das Flächen-Übereinanderlegen gezeigt, daß der pythagoreische Lehrsatz richtig ist. Wenn Sie gerade diese Art des Übereinanderlegens nehmen, so werden Sie etwas finden. Sie werden zwar sehen, wenn Sie die Sache ausschneiden, statt daß Sie es aufzeichnen, daß sie sehr leicht überschaubar ist; trotzdem, wenn Sie später darüber nachdenken, wird es Ihnen wieder entfallen. Sie müssen es immer wieder von neuem suchen. Sie können es sich nicht ganz gut im Gedächtnis merken, daher muß man es immer wieder aufs neue suchen. Und das ist gut. Das ist nämlich ganz gut. Das entspricht dem pythagoreischen Lehrsatz. Man soll immer wieder von neuem darauf kommen. Daß man ihn einsieht, soll man immer wieder vergessen. Das entspricht dem Frappierenden, was der pythagoreische Lehrsatz hat. Dadurch bekommen Sie das Lebendige in die Sache hinein. Sie werden schon sehen, wenn Sie dieses von den Schülern wieder und wieder machen lassen, die müssen es herausdrucksen. Sie kommen nicht gleich wieder darauf, sie müssen jedesmal nachdenken. Das entspricht aber dem InnerlichLebendigen des pythagoreischen Lehrsatzes. Es ist gar nicht gut, wenn man den pythagoreischen Lehrsatz so beweist, daß er platt philiströs einzusehen ist; es ist viel besser, daß man ihn immer wieder vergißt und immer wieder von neuem suchen muß. Das entspricht dem Frappierenden, daß es doch etwas Sonderbares ist, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate.

Nun können Sie ganz gut mit elf- oder zwölfjährigen Kindern die Geometrie so weit bringen, daß Sie den pythagoreischen Lehrsatz in einem solchen Flächenvergleich erklären; die Kinder werden eine ungeheure Freude haben, wenn sie das eingesehen haben, und sie bekommen Eifer. Das hat sie gefreut. Jetzt wollen sie es immer wieder machen, besonders, wenn man sie es ausschneiden läßt. Es wird nur ein paar intellektualistische Taugenichtse geben, die sich das ganz gut merken, die es immer wieder zustande bringen. Die meisten, vernünftigeren Kinder, werden immer wieder sich verschneiden und daran herumdrucksen, bis sie herausbekommen, wie es sein muß. Das entspricht aber dem Wunderbaren des pythagoreischen Lehrsatzes, und man soll nicht aus diesem Wunderbaren herauskommen, sondern drinnen stehenbleiben.

Fifth Lecture

If you want to teach a child something, you have to understand something of the actual nature of the subject, so that you do not stray into teaching and educating them about things that are far removed from life. Everything that is close to life can be understood. One could also say: what one understands in reality must be close to life. Abstractions are not close to life.

Nowadays, teachers and educators have only abstractions of certain things from the outset, meaning that they are not close to life in certain respects. This causes the greatest difficulties for education and teaching. Just consider the following: think about how you came to count things; what actually happens when you count. You will probably find that the thread of your investigations breaks off somewhere, that you have learned to count, but do not really know what you are doing when you count.

Now all kinds of theories are being devised for education, how to teach a child the concept of numbers, how to teach counting, and usually such theories are then followed. Even if this may lead to outward success, it is not possible to reach the whole person with this counting or with such things that are far removed from life. Recent times have proven how much they live in abstractions by inventing things like the calculating machine for teaching. People may use calculators in commercial offices as they please; that is none of our concern. But in the classroom, the calculator, which appeals exclusively to the head, prevents us from approaching the child in a way that is appropriate to its nature.

The point is that counting is really learned from life. Above all, it is important to know from the outset that it is impossible for the child to understand everything that is taught to them. The child must accept many things on authority, but they must accept them naturally and appropriately.

Therefore, you may find that what I am about to tell you about teaching counting is perhaps still difficult for the child. But that does not matter. It is extremely important that there are moments in a person's life when, at the age of 30 or 40, they say to themselves: Now I understand something that I absorbed on authority when I was 8 or 9, or even earlier. That is invigorating. On the other hand, anyone who considers all the things that are being introduced into teaching today as visual aids may indeed despair at how trivial things are being made in order to bring them closer to the child's understanding, as they say.

Just imagine, you take even the smallest child, who is still quite clumsy, and you say to him: Look, you are standing there now. Here I have a piece of wood. Here I have a knife. I am now going to cut this piece of wood. Can I do the same with you? The child will realize for himself that I cannot do that with him. And now I can say to the child: Look, if I can cut the wood, then the wood is not like you, and you are not like the wood, because I cannot cut you. So there is a difference between you and the wood. The difference is that you are a unity. The wood is not a unity. You are a unity. I cannot cut you. What you are, because I cannot cut you up, I call a unity.

Now, we will gradually move on to teaching the child a sign for this unity. We make a line: I. So we teach the child that it is a unity, and we make this line for it.

Now we can move away from the wood and the comparison with the child, and say to the child: Look, you have your right hand, and you also have your left hand. And we can teach the child: If you only had this one hand, then this one hand could move everywhere, just like you yourself. But if you continue like this, you cannot meet yourself, you cannot touch yourself. But when this hand and this hand move, they can touch each other, they can come together. This is different from when you walk alone. Because you walk alone, you are a unity. But one hand can meet the other hand. This is no longer a unity, it is a duality. You see, you are one, but you have two hands. You then describe this as: II.

In this way, you bring out the concept of unity and duality from the child itself.

Now you go on, call out a second child and say: But when you walk, you can also meet each other, you can also touch each other. You are a duality. But another one can join you. That cannot be the case with hands. In this way, you can move on to the trinity with the child: III.

In this way, you can derive the number from what the human being is: you come from the human being to the number. The human being is something living, not something abstract.

And you can move on and say: Look, you still have a duality somewhere. You continue this until the child comes to its two legs and feet. Now you say: But you have already seen the neighbor's dog, does it also stand on only two feet? Then the child will come to recognize the neighbor's dog standing on its two legs in the four strokes IIII, and will gradually learn to construct the number from life itself.

Now it is good if the teacher again has open eyes everywhere and looks at everything with understanding. It could be quite good, because first, as is natural, one begins to write these so-called Roman numerals – for that is what the child naturally understands right away – now the transition can be made from the four with the help of the hand to the five: V. The child will be told: this is how it is, if you hold back (your thumb), you can use these four like the dog: IIII. But then the thumb is added, and now there are five: V.

I once stood opposite a teacher who had come to four in his explanation of Roman numerals, but couldn't figure out why the Romans had decided not to make five lines next to each other, but to make this sign V for five. He was able to explain it quite well up to IIII. So I said: Well, let's do it this way, let's spread our five fingers out so that they form two rows, and then we have it: there we have the Roman five in our hand. That is also the origin of the Roman five. The hand is in there.

In such a short course, of course, one can only explain the principle. But in this way, one has the opportunity to read the number directly from life itself. And only then, when one has derived the number directly from life in this way, does one try to go through counting by listing the numbers one after the other. But try to do this in such a way that the children do not remain indifferent. Before you say to them, “Now tell me the numbers one after the other: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, and so on,” start with the rhythm. Let's say we go from 1 to 2 = 1 2, 1 2, 1 2; we let the child emphasize the 2 more strongly, then move on to 3 in the same rhythmic way = 1 2 3, 1 2 3. In this way, we put rhythm into the number sequence and thus also develop the child's ability to summarize things. In this way, we really manage to teach the child numbers in a natural way, based on the essence of numbers.

People usually believe that they invented numbers by adding one to the other. But that is not true at all; the head does not count at all. In everyday life, we do not realize what a strange, useless organ the human head actually is for earthly life. It is there for beauty, of course, because the face pleases others. It has many other virtues, but it is not really that strong when it comes to intellectual activities, because what it has intellectually within itself always leads back to its previous earthly life; it is the transformed previous earthly life. And it only really makes sense for humans to have a head if they know something about their previous earthly lives. Everything else does not come from the head at all. In reality, we count on our fingers in our subconscious. In reality, we count 1-10 on our fingers and 11, 12, 13, 14 on our toes. You can't see it, but you do this up to 20. And what you do in your body in this way is only reflected in your head. The head just watches everything. The head in humans is really only a mirror of what the body does. The body thinks, counts; the head is only a spectator.

This head bears a strange resemblance to something else. If you have a car here (it is drawn) and you sit comfortably inside it, you do nothing at all; the chauffeur up front has to do all the work. You sit inside and are driven through the world. It is the same with the head; it does not struggle, it is simply on your body, lets itself be carried quietly through the world and watches everything. Everything that is done in intellectual life is done from the body. Mathematics is done from the body, thinking is also done from the body, feeling is also done from the body. The calculating machine arises from the misconception that humans calculate with their heads. Children are then taught arithmetic with the calculating machine, which means they strain their heads, and their heads then strain their bodies, because it is the body that has to do the calculating. No consideration is given to the fact that the body has to do the calculations. This is important. That is why it is right to let children count with their fingers and toes, just as it would be good to encourage children to develop as much dexterity as possible. For example, there is nothing better in life than making people dexterous as a whole! This cannot be achieved through sport; sport does not actually make people dexterous. But it does make them dexterous, for example, if you let them hold a stylus between their big toe and the next toe and let them learn to write with their foot, writing numbers with their feet. This is something that can be very important, because in truth, the human being is imbued with soul and spirit throughout their entire body. The head is the leaning, idle passenger, while the body is the driver everywhere; it has to do everything.

And so one must try from various angles to build up what the child should learn as counting. It is important, after working in this way for a while, not only to teach counting by adding one to another – which is actually the least important form of counting – but also to teach the child: This is the unity. Now you divide it (see drawing): this is the duality. It is not one unity placed next to another to form a duality, but rather the duality has emerged from the unity. This is the unity (see above), this is now the trinity. In this way, one can evoke the idea that unity is actually the comprehensive, that which encompasses duality, triality, and quadruality. When one learns to count in this way (see diagram) 1, 2, 3, 4, and so on, the child's concepts come alive. This creates an inner penetration of the numerical in the child.

In certain periods of antiquity, our concepts of counting, where one bean is placed next to another or one ball is placed next to another on the abacus, were not known at all. Instead, it was simply said: The unit is the largest; each two is only half of it, and so on. In this way, you get into the essence of counting, vividly, on the outside. One should always develop the child's thinking only on the outside, on the vivid, keeping abstraction as far away as possible.

The child is then gradually given the opportunity to learn the number sequence to a certain extent, for my part first up to 20, then 100, and so on. But one should proceed in this way in order to teach the child to count in a lively manner. A child can then count. The child should first learn to count – I say this explicitly – not to calculate, but to count. The child should be able to count before moving on to arithmetic.

Once the child has been taught to count, the next step is to move on to arithmetic. Arithmetic, too, must be drawn from life. Life is always a whole and is first given as a whole. It is wrong to make people always put together a whole from parts, if they are not taught to look at a whole and then divide it into parts. By making children look at a whole, divide it and share it, we introduce them to life.

We do not notice much of what the materialistic age has actually done to human culture. Today, we do not take any particular offense at this, but consider it a matter of course to let children play with building blocks, to have individual bricks and to assemble a building from them. From the outset, this is a way of leading the child away from life. The child has no inherent need to assemble a whole from parts. The child has many other, albeit more inconvenient, needs. Once the child gets the idea, it immediately feels the need to take apart a watch if you give it one, to dismantle the whole into its parts, and this corresponds much more to the human nature of seeing how a whole is divided into parts.

This is what must now also be taken into account in arithmetic lessons. You can see from the following example that this has an influence on the whole culture.

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Until the 13th and 14th centuries, no great importance was attached to putting together a whole from its parts in human thinking. This only came later. Architects built much more from the idea of the whole and divided it into parts than they did from parts to assemble a building. Assembling from parts actually only entered human civilization later. And this then led to people beginning to think of everything as being composed of the smallest parts. This gave rise to the atomistic theory in physics. It comes only from education. Our great scholars would not speak at all of these tiny little caricatures of demons — for they are caricatures of demons — of atoms, if we had not been accustomed in our education to putting everything together from parts. That is how atomism came about. Today we criticize atomism; but actually the criticism is quite superfluous, because people cannot break away from what they have been accustomed to thinking incorrectly for four to five centuries: instead of thinking from the whole into the parts, they think from the parts to the whole.

This is something that should be said especially in arithmetic lessons. When you approach a forest from a distance, you first see the forest, and only when you get closer do you divide the forest into individual trees. You must proceed in the same way when calculating. You never have, say, 1, 2, 3, 4, 5 in your wallet, but rather a pile of coins. You have the 5 together. That is a whole. That is what you have at first. When you cook pea soup, you don't have 1, 2, 3, 4, 5 to 30, 40 peas, but rather a pile. When you have a basket of apples, you don't have 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and so on apples, but a bunch of apples in your basket. You have a whole. What does it matter to us at first how much we have, we have a bunch of apples (it is drawn). Now we come home with this bunch of apples. There are three children. At first, we don't want to divide them up so that each child gets the same amount. Maybe one child is small and the other is big. We reach in, give the bigger child a bigger bunch and the smaller child a smaller bunch; we divide the bunch of apples we have into three parts.

Sharing is such a strange thing anyway! Once upon a time, a mother had a large piece of bread and said to one of her children, whose name was Heinrich: You must now share, but share in a Christian way. Heinrich asked, “What does that mean, share in a Christian way?” “Well,” said the mother, “you must cut the bread into a smaller piece and a larger piece, give the larger piece to your sister Anna, and keep the smaller piece for yourself.” Heinrich replied, “No, then only Anna should share in a Christian way!”

Then we have to use other concepts to help us. We do it this way, for example, by giving one child this (see the division in the drawing), the second child this pile, and the third child this pile. So that we can see everything clearly, we first count the whole pile, because the child can already count. There are 18 apples. Now I have to count them. How many does the first child have? 5. How many does the second child have? 5. How many does the third child have? 8.

So I started with the whole, the whole pile of apples, and divided it into three parts.

Very often in class, you say: You have 5 and another 5 and 8; you add them together and you get 18. You start with the individual parts and arrive at the whole. But that gives the child dead concepts, not living concepts. Start with the whole, with the 18, and divide it into the addends, and you get the addition.

So don't teach by starting with the individual addends or summands, but start with the sum – which is the whole – and break it down into the individual addends. Then you can come to say: But now I can also divide it differently. I can divide it like this ... I now have different addends, but the whole always remains the same. By not approaching addition in the way it is very often approached, first with the addends and then the sum, but rather first with the sum and then the addends, you arrive at very lively, flexible concepts. You also realize that where only the number matters, the whole is something that remains constant; the individual summands and addends can change. This peculiarity of numbers, that the addends can be grouped in different ways, comes out very nicely here.

Then you can move on and say: But if something is not just a number, but has the number in itself, like a human being, then you cannot divide it in different ways. For example, if you take the human torso and what is attached to it, the head, arms, and feet, you cannot divide the whole in any way you like; you cannot say: I will cut out one foot like this, the hand like that, and so on, but rather it is already structured in a certain way by nature.

Where it is only a matter of counting, it is not structured by nature, so I can divide it in different ways.

This is what gives you the opportunity to bring life and lively flow into the classroom. All pedantry falls away from the lesson, and you will see that something enters the lesson that the child needs extremely well: humor enters the lesson in a healthy sense, not in a childish sense. And humor must enter the lesson.

Translate the word “humor” well; it is always misunderstood in the lesson!

This is how you must proceed in class: start from the whole picture everywhere. Suppose you want to do the following, taken from real life. The mother sent Mariechen to buy apples. Mariechen got 25 apples. The shopkeeper wrote this down on a piece of paper. Mariechen comes home and brings only 10 apples. The fact is there, it's from real life: Mariechen got 25 apples and only brought 10 home. Mariechen is an honest girl, she really didn't eat a single apple on the way, but she only brought 10 apples home. Now someone else comes running along, who is also honest, and brings all the apples that Mariechen lost on the way. Now the question arises: how many will he bring? You can see him coming from a distance. Now you want to know in advance how many he will bring. Well, Mariechen has arrived, she has brought 10 apples, she had received 25, you can see that on the note the woman wrote down. So she has lost 15 apples.

You see, now you've done the math. Usually, you do it this way: something is given, you have to subtract something, and then something remains. But in life—you will see for yourself—it is much more common that you know what you originally received and what is left over, and you have to find what has been lost. So, in order to make things lively, you should do the subtraction by starting with the minuend and the remainder and looking for the subtrahend; not by starting with the minuend and the subtrahend and looking for the remainder. That is dead. It is lively to start with the minuend and the remainder and look for the subtrahend. This brings life into your teaching.

You will see this when you consider the matter of the mother and Mariechen and the one who brings the subtrahend. Mariechen has lost the subtrahend from the minuend, and one wants to justify this by asking the one who is coming, whom one sees approaching, how much he must bring. This brings life, real life, into the whole subtraction. If you only ask: How much is left over? – that only brings death into the soul of the child. You must always be careful to bring life, not death, into the child.

And so you can continue. You can do multiplication by saying: The whole, the product, is there; how can we find out how many times something is contained in this product? You see, that brings you to something alive. Think how dead it is when you say: I divide this whole group of people, there are three, there are another three, and so on, and now I ask: how many times three are there? That is dead, there is no life in it.

If I do the opposite and take the whole and ask how many times a certain group is contained within it, then I can bring life into it. For example, I can say to the children: Look, there are a certain number of you here in the class. Let's count them. There are 45 of you. Now I'll pick out 5, 1, 2, 3, 4, 5, and put them over there. Now I'll have you count how many times these 5 are in these 45. See, I'm going back to the whole, not the part. How many more groups of five can I make? I come to the conclusion that there are still eight groups of five in there. So I do the opposite, starting from the whole, from the product, and looking for how many times a factor is in there. In this way, I bring the types of calculation to life and, above all, start from the concrete. And what matters is that we never, ever, ever detach thinking from the concrete, otherwise the child will be exposed to intellectualism and abstraction at an early age, and we will spoil the whole child. We make it dry, and in addition we cultivate in it — we will talk about intellectual, emotional, and physical education later — we cultivate in them the drying up of the physical body, sclerosis.

Again, much depends on teaching arithmetic as observed here, so that people remain agile and skilled in old age. If you teach counting on the human body as I have described, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 and then continuing with the toes – yes, it would be quite good to get children used to counting to 20 with their fingers and toes, not with a calculator – if you teach children this, you will see that through this childlike meditation – because when you count on your fingers, when you count on your toes, you also have to think about your fingers and toes, which is a form of meditation on your own body, and a healthy form of meditation at that – you bring life into the body. Then, in old age, you will still be dexterous with your limbs; they will hold their own because they have learned to count with the whole organism. If you only think with your head, not with your limbs and the rest of your organism, then later on they will not be able to hold their own, and you will get gout.

I would now like to show you how everything in education and teaching must be based on the concrete, not on what is often called “visual teaching” today, using a specific case that can indeed play a very special role in teaching. It is the case of the Pythagorean theorem, which you are all familiar with if you are going to teach, and which you may already have understood in a similar way, but we want to discuss it again today. You see, the Pythagorean theorem represents something that can actually be set as a goal for geometry in teaching. Geometry can be structured in such a way that one says: we want to design everything so that it culminates in the Pythagorean theorem, which states that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle is equal to the sum of the squares of the two catheti. It is something quite magnificent when you really take that in.

I once had to teach geometry to a lady who was already elderly at the time because she loved it so much. I don't know if she had forgotten everything, but she probably hadn't learned much in the girls' schools where girls are educated. In any case, she knew nothing about geometry. I began and culminated the whole thing with the Pythagorean theorem. Now, the Pythagorean theorem was indeed something extraordinarily striking for the lady. One is just used to this strikingness. But isn't it true that one should simply understand that if I have a right-angled triangle here (it is drawn), the area that is constructed as a square over the hypotenuse is equal to the sum of these two square areas over the catheti (Fig. I) . That if I plant potatoes and arrange them at equal distances everywhere, when I plant this field and this one with potatoes, I will plant exactly as many potatoes as here in this field. That is something striking, something very striking, and when you look at it that way, you can't really understand it.

And precisely because you can't understand it, because it is something so wonderful, you should use it to stimulate the soul in the classroom; you should build on the fact that you have something that is not terribly transparent, something that you have to admit again and again. One might say that this is the case with the Pythagorean theorem: one can believe in it, but one must always lose that belief again immediately. One must always believe anew that the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

Now, one can find all kinds of proofs, and the proof should actually be presented in a very clear manner. It is easy to provide as long as the triangle is isosceles. If you have an isosceles right-angled triangle here (it is drawn, Fig. II), this is one cathetus, this is the other cathetus, and this is the hypotenuse. What I am now drawing in orange (1, 2, 3, 4) is the square above the hypotenuse. What I am drawing in blue are the squares above the two catheti (2, 5; 4, 6).

Now, if I plant potatoes in the right way here above these two blue fields (2, 5; 4, 6), I get the same amount as if I plant potatoes in the orange field (1, 2, 3, 4). The orange field is the square above the hypotenuse, the two blue fields (2, 5; 4, 6) are the squares above the two catheti.

Now you can easily prove this by saying: The two pieces (2, 4) of the two blue squares that fall into the hypotenuse square are already inside. You can place that (5) here (on 3). If you cut out the whole thing, you can place the piece (6) here (on 1), and you have it right away. So, the matter is quite transparent if you have a so-called right-angled isosceles triangle. But if you don't have a right-angled isosceles triangle, but one with different sides (as in Fig. ID), you can do the following: Draw this triangle again (Fig. II: ABC). Now draw the square above the hypotenuse ABDE. Now you can draw as follows: You can draw the triangle ABC that you have here: BDF. Then you can draw this triangle ABC, or rather this BDF, which is the same thing, again here: AEG. Because you have this triangle here again, you can draw the square above this one cathetus (red) CAGH. Now what I have drawn in red is the square above the one cathetus (CAGH).

As you can see, I can now also draw the triangle here: DEI. Here I have it too. Then, in what I am now drawing in green, I have the square above the other cathetus: DIHF; then I have two, the square above one cathetus, the square above the other cathetus. I only use this cathetus AG for one, and this cathetus DI for the other. The triangles are there (AEG) and there (DEI); but they are equal (i.e., congruent). Where do I have the square above the hypotenuse? I will now draw it in purple so that we can distinguish it clearly: ABDE. I have the square above the hypotenuse here. Now I have to show on the figure itself that red (1, 2) and green (3, 4, 5) together give purple (2, 4, 6, 7).

Now you can easily see: I take this red square (1, 2) here first; what the two squares have in common (2) coincides. Now the piece of the green square (4) comes in. So I have this figure (2, 4), which you can see drawn there and which is nothing other than a piece of the purple square ABDE, a piece of the purple square, that's right. This piece of the purple square ABDE contains this piece of the red square (2); only the tip here remains (1); it does not yet contain that. But this figure also contains this corner of the green square (4). Now I just have to figure out how to fit in what I have left (1, 3, 5).

Now take a look: you have a piece of the red square left (1), a piece of the green square (3), and you have this whole triangle (5) left over, which also belongs to the green square DIHF. Now take what you have here, what you have left over, and put it there; take what you have left over here (5) and put it there (6). Now you also have the corners there (1, 3). If you cut that out, you will see that these two areas (1, 3) have fallen into this area (7). Of course, it can be drawn more clearly, but I think you will understand the matter. Now it is just a matter of communicating it more precisely through language. In this way, you have simply shown that the Pythagorean theorem is correct by superimposing the areas. If you use this method of superimposition, you will find something. You will see that when you cut it out instead of drawing it, it is very easy to understand; nevertheless, when you think about it later, you will forget it again. You have to search for it again and again. You cannot remember it very well, so you have to search for it again and again. And that is good. That is very good indeed. It corresponds to the Pythagorean theorem. You should always come to it anew. You should always forget that you understand it. This corresponds to the striking nature of the Pythagorean theorem. This brings life into the matter. You will see, if you have the students do this again and again, they will have to work it out. They will not come up with it right away, they will have to think about it each time. But this corresponds to the inner life of the Pythagorean theorem. It is not good at all to prove the Pythagorean theorem in such a way that it can be understood in a flat, philistine way; it is much better to forget it again and again and have to search for it anew. This corresponds to the striking fact that it is something strange that the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two cathetus.

Now, you can easily teach eleven- or twelve-year-old children geometry to the extent that you can explain the Pythagorean theorem in such a comparison of areas; the children will be immensely happy when they understand this, and they will become enthusiastic. That made them happy. Now they want to do it again and again, especially when you let them cut it out. There will only be a few intellectual good-for-nothings who remember it quite well and manage to do it again and again. Most of the more sensible children will cut it wrong again and again and fiddle around with it until they figure out how it should be done. But that is in keeping with the wonder of the Pythagorean theorem, and one should not leave this wonder behind, but remain within it.